正弦教案

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向量证明正弦定理

表述：设三面角∠p-abc的三个面角∠bpc，∠cpa，∠apb所对的二面角依次为∠pa，∠pb，∠pc，则 sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。

过a做oa⊥平面bpc于o。过o分别做om⊥bp于m与on⊥pc于n。连结am、an。 显然，∠pb=∠amo，sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano，sin∠pc=ao/an。 另外，sin∠cpa=an/ap，sin∠apb=am/ap。 则sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。 同理可证sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得证三面角正弦定理。

如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c

在向量等式两边同乘向量j,得・

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

记向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

=a・cos(180-(c-90))+b・0+c・cos(90-a)

步骤2.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d. 连接da.

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

用向量叉乘表示面积则 s = cb 叉乘 ca = ac 叉乘 ab

=>absinc = bcsina (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

记向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△abc中，证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,

4

过三角形abc 的顶点a作bc边上的高，垂足为d.(1)当d落在边bc上时，向量ab 与向量ad

每位教师在进行授课时都需要准备完整的教学课件，这需要老师们对待教学认真负责。对于新老师而言，若想让课堂更有趣，就需要在教案和课件上下功夫。如果您想获得更全面的认识，可以考虑阅读名为“正弦定理教案”的相关文章。如果合适您的需求，不妨把本页收藏起来哟！

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇a正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇b正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：

从而抽象出一个雏形:

3、测量角a的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾:

定性研究如何转化为定量研究?

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:

1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，筛选出能成立的等式。

2、那这一结论对任意三角形都适用吗？指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。

（四）让学生进行各种尝试，探寻理论证明的方法。

提出问题:

1、如何把猜想变成定理呢？使学生注意到猜想和定理的区别，强化学生思维的严密性。

2、怎样进行理论证明呢？培养学生的转化思想，通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3、你能找出它们的比值吗？借以检验学生是否掌握了以上的研究思路。用几何画板动画演示，找到比值，突破难点。

4、将猜想变为定理，并用以解决课首提出的问题，并进行适当的思想教育。

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的兴趣。

（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：

1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、

经过搜索整理，工作总结之家为你呈现“正弦定理教案”，为防遗忘，建议你收藏本页。老师在上课前需要有教案课件，老师在写教案课件的时候不能敷衍了事。教案的编写需要注意评估和反馈的意义和作用。

一、说教材

正弦定理是高中新教材人教a版必修五第一章1.1.1的内容，是学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生的学习兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导，并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

(1)已知两角和一边，解三角形;

(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、说学情

本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修四基本初等函数和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激发学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

三、说教学目标

【知识与技能目标】

能准确写出正弦定理的符号表达式，能够运用正弦定理理解三角形、初步解决某些测量和几何计算有关的简单的实际问题。

【过程与方法目标】

通过对定理的证明和应用，锻炼独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法。

【情感态度价值观目标】

通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识。

四、教学重难点

【重点】

正弦定理及其推导。

【难点】

正弦定理的推导与正弦定理的运用。

五、说教学方法

运用“发现问题——自主探究——尝试指导——合作交流”的教学方式，整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：师生互动、共同探索，教师指导、循序渐进。

新课引入——提出问题，激发学生的求知欲。掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合动脑思考，由一般到特殊，组织学生自主探索，获得正弦定理及证明过程。

例题处理——始终由问题出发，层层设疑，让他们在探索中得到知识。巩固练习——深化对正弦定理的理解。

六、说教学过程

(一)导